振動積分のためのDE公式の変数変換の計算
はじめに 本記事では振動積分 \[\begin{aligned} \int_0^\infty \sin(x) f(x) \,\mathrm{d}{x}, \qquad \int_0^\infty \cos(x) f(x) \,\mathrm{d}{x} \end{aligned}\] のためのDE公式 (Ooura and Mori 1999) で用いられる変数変換とその正弦・余弦・微分を計算するときの注意事項を示す． 具体的には, \(\int_0^\infty \sin(x)f(x)\,\mathrm{d}{x}\) の計算では \[\begin{aligned} x_{\sin,h}(t) = \frac{\pi}{h} \phi(t), \qquad \phi(t) :=\frac{t}{1 - \mathrm{e}^{u(t)}}, \qquad u(t) :=-2t - \alpha(1-\mathrm{e}^{-t}) - \beta (\mathrm{e}^t-1) \end{aligned}\] という変換を用いる．なお， \(x_{\sin,h}(t)\) の微分は \[\begin{aligned} x_{\sin,h}'(t) = \frac{\pi}{h} \phi'(t) = \frac{\pi}{h} \left[ \frac{1}{1 - \mathrm{e}^{u(t)}} - \frac{t u'(t) \mathrm{e}^{u(t)}}{(1-\mathrm{e}^{u(t)})^2} \right] = \frac{\pi}{h} \frac{1 -\mathrm{e}^{u(t)} + tu'(t)\mathrm{e}^{u(t)}}{(1-\mathrm{e}^{u(t)})^2} \end{aligned}\] である． また， \(\int_0^\infty \cos(x)f(x)\,\mathrm{d}{x}\) の計算では \[\begin{aligned} x_{\cos,h}(t) = \frac{\pi}{h}\phi\lef...