ブロック対角行列のノルム

命題． \(\newcommand{\bR}{\mathbb{R}}\)\(\newcommand{\bmx}{\boldsymbol{x}}\) 正方行列 \(A\in\bR^{n\times n}\) はブロック対角行列であるとする:

\[ A = \begin{bmatrix}D_1&&&\\&D_2&&\\&&\ddots&\\&&&D_s\end{bmatrix} \quad \left(D_i\in\bR^{n_i\times n_i}\right). \]

このとき，

\[\|A\|_2 = \max_{i=1,\dots,s} \|D_i\|_2{}_{}.\]

証明． ベクトル \(\bmx\in\bR^{n}\) を \[ \bmx = \begin{bmatrix} \bmx_1\\\bmx_2\\\vdots\\\bmx_s \end{bmatrix} \quad \left(\bmx_i\in\bR^{n_i}\right) \] と分割する．

このとき，

\[\begin{align} \|A\|_2^2{}_{} & = \max_{\|\bmx\|_2=1{}_{}} \|D_1\bmx_1\|_2^2 + \dots + \|D_s\bmx_s\|_2^2 {}_{}\\ & = \max_{\|\bmx\|_2=1{}_{}} \|D_1\|_2^2\|\bmx_1\|_2^2 + \dots + \|D_s\|_2^2\|\bmx_s\|_2^2 {}_{}\\ & = \max_{i=1,\dots,s} \|D_i\|. \end{align}\]

ヾ(oﾟωﾟo)ﾉﾞ Q.E.D.！