こんな線形代数の期末試験はいやだ

問1．

$A = \begin{bmatrix}3 & 1\\ 1 & 3\end{bmatrix}$とする．以下の(1)〜(4)に答えよ．

(1) $A$の全ての固有値とそれに対応する固有ベクトルを求めよ．

(2) $A^7$を求めよ．

(3) $\displaystyle B = \frac{1}{4}A$とする． $\displaystyle C = I + \sum_{k=1}^\infty B^k$を求めよ．

(4) $\displaystyle D = \frac{1}{8}A$に対して$\displaystyle E = - \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} D^k$を求めよ．

問2．

以下の(1)，(2)に答えよ．

(1) $A = \begin{bmatrix}1 & 1 & 0\\0& 1 & 1\\0 &0 & 1\end{bmatrix}$とする． $A$の全ての固有値とそれに対応する固有ベクトルを求めよ．

(2) 以下で定義される$n\times n$行列$A_n$を考える：

$$(A_n)_{i,j} = \begin{cases}1 &(i = j\ \text{または}\ i=j-1),\\ 0 & \text{（それ以外）}. \end{cases}$$

$A_n$の全ての固有値と固有ベクトルを求めよ．